Dat \(P=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)

Ta co: \(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\ge8\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Ta d̃i CM:\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Ta co:\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\left(dpcm\right)\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=c\)

Bài 1:

Vì $a\geq 1$ nên:

\(a+\sqrt{a^2-2a+5}+\sqrt{a-1}=a+\sqrt{(a-1)^2+4}+\sqrt{a-1}\)

\(\geq 1+\sqrt{4}+0=3\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=1$

Bài 2:
ĐKXĐ: x\geq -3$

Xét hàm:

\(f(x)=x(x^2-3x+3)+\sqrt{x+3}-3\)

\(f'(x)=3x^2-6x+3+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}=3(x-1)^2+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}>0, \forall x\geq -3\)

Do đó $f(x)$ đồng biến trên TXĐ

\(\Rightarrow f(x)=0\) có nghiệm duy nhất

Dễ thấy pt có nghiệm $x=1$ nên đây chính là nghiệm duy nhất.

Bài 1:
Có: P(-2) = 4a - 2b + c
P(1) = a + b + c
=> P(-2) + P(1) = 5a -b + 2c = 0
=> P(-2) và P(1) là 2 số trái dấu nhau hoặc cùng bằng 0
Do đó P(-2). P(1) \(\le\) 0
Bài 2 :
Ta có: \(5x-x^2=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(5-x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\5-x=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=5\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm của B(x) là x=0 hoặc x=5
Bài 3:
Pt \(\Leftrightarrow\left(x-4\right)^3-9\left(x-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left[\left(x-4\right)^2-9\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x-4+3\right)\left(x-4-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x-1\right)\left(x-7\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-4=0\\x-1=0\\x-7=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=1\\x=7\end{matrix}\right.\)
Vậy các giá trị cần tìm là x=4; x=1 hoặc x=7

a) \(\frac{a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)}{ab^2-ac^2-b^3+bc^2}\)

\(=\frac{a^2b-a^2c+b^2c-b^2a+c^2\left(a-b\right)}{ab^2-b^3-ac^2+bc^2}\)

\(=\frac{\left(a^2b-b^2a\right)+\left(b^2c-a^2c\right)+c^2\left(a-b\right)}{b^2\left(a-b\right)-c^2\left(a-b\right)}\)

\(=\frac{ab\left(a-b\right)+c\left(b^2-a^2\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(b^2-c^2\right)\left(a-b\right)}\)

\(=\frac{ab\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)\left(a-b\right)}\)

\(=\frac{ab-c\left(a+b\right)+c^2}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}\)

\(=\frac{ab-ac+c^2-bc}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}\)

\(=\frac{a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}\)

\(=\frac{\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}\)

\(=\frac{a-b}{b+c}\)

Sửa lại: \(\frac{a-c}{b+c}\)

Với a,b,c,d >0. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : 

                          \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

                          \(c+d\ge2\sqrt{cd}\)

Do đó : \(a+b+c+d\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{cd}\) \(=2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)\)     (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :

                 \(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\ge2\sqrt{\sqrt{ab}.\sqrt{cd}}=2\sqrt[4]{abcd}\)      (2)

Từ (1) và (2) ta có : \(a+b+c+d\ge4\sqrt[4]{abcd}\)

           \(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\)

           \(\left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4\ge abcd\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d\)